Hipótesis de Riemann (1859) / Biblioteca Estatal y Universitaria de Gotinga

La mayoría de matemáticos está de acuerdo en que existe una cierta aleatoriedad en la distribución de los números primos. No hay una fórmula que indique cuándo va a aparecer un primo en la lista de números naturales. Sin embargo, un sorprendente hallazgo describe un patrón en esa lista que habíamos pasado por alto.

Los números primos son aquellos que sólo tienen dos divisores distintos, el mismo número y el 1 (como el 2, el 3, el 5, el 7, el 11 y el 13). Entre números más grandes son más difíciles de encontrar, pero sabemos que —a partir del 5— sólo pueden acabar en 1, 3, 7 y 9. Por eso, si su distribución fuera verdaderamente aleatoria, cabría esperar que después de un primo acabado en 1 venga otro primo acabado en 1 en el 25% de los casos. Pero no, sólo ocurre el 18% de las veces.

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Un hallazgo raro e inesperado

Los matemáticos Soundararajan y Lemke Oliver

Los matemáticos Robert J. Lemke Oliver y Kannan Soundararajan de la Universidad Stanford estudiaron la aleatoriedad de los primeros mil millones de números primos utilizando aritmética modular. Descubrieron que la probabilidad de que un número primo que acaba en 9 sea proseguido por un primo que acaba en 1 es un 65% mayor que la de que lo prosiga otro 9. Los 9 aparecen consecutivos el 22% del tiempo, los 3 o los 7 un 30% de las veces.

Nadie antes se había dado cuenta de esto, a pesar de la importancia de los números primos. Por primera vez existe una evidencia numérica y teórica de que los números primos repelen a otros primos que terminan en el mismo dígito. Los investigadores lo describen como “tendencias inesperadas” y señalan que no tiene nada que ver con el sistema de numeración en base 10, es algo inherente a los números primos en sí. Es un hallazgo raro e inesperado.

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Respaldo numérico de una vieja conjetura

Soundararajan y Lemke Oliver creen que el descubrimiento tiene que ver con la conjetura de las k-tuplas de números primos propuesta por los matemáticos británicos Godfrey Hardy y John Littlewood en 1923. Esta conjetura proporciona una estimación de la frecuencia con la que aparecerá cada posible constelación de números primos dado un patrón de separación. Además cuenta con un respaldo numérico: se ha comprobado que los primeros números primos se comportan como esperaban Hardy y Littlewood.

Es una conjetura, aún por probar” explica a Gizmodo en Español el matemático Daniel Redondo. “Además, en caso de estar probada, sólo podría dar la probabilidad estimada de encontrar un conjunto de números primos espaciados de una forma determinada. Es un pequeño paso para conocer un poco mejor la distribución de los números primos, pero conocer la distribución exacta es una meta que aún queda lejos”.

Conocer la distribución de los números primos, o función π, significaría resolver uno de los problemas abiertos más importantes de la matemática contemporánea. Incluso tener una acotación muy precisa de la función π probaría la hipótesis de Riemann, que por su relación con la distribución asintótica de los números primos es considerada uno de los problemas del milenio. Quien lo resuelva se llevará un premio de un millón de dólares.

Las implicaciones en criptografía

Shamir, Rivest y Adleman, los creadores de RSA

Obtener la función π tendría muchas repercusiones también en la práctica, empezando por nuestros sistemas de cifrado. Si conociésemos la distribución de los números primos tendríamos una forma de saber si un número concreto es primo o no, y conseguiríamos burlar la seguridad de RSA, el algoritmo de criptografía asimétrica más utilizado del mundo. La seguridad de RSA se basa en la dificultad de factorizar números que son producto de dos primos, del orden de 10 elevado a 200. Lo utilizamos varias veces al día sin darnos cuenta a través de Internet o incluso en el banco y lo implementan empresas como el aeropuerto de Los Ángeles, DZ Bank y Shell.

El descubrimiento de Soundararajan y Lemke Oliver puede no tener implicaciones prácticas en asboluto, pero arroja luz sobre algo que nos cuesta entender: el azar de los números primos, como pasa con los dígitos de pi, sólo es una sensación; esa supuesta aleatoriedad viene en realidad determinada por las propiedades de los números. [arXiv]

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