Imagina que tienes dos anillos con el borde curvo de diferente diámetro pero de la misma altura. ¿Y si te dijera que ambos objetos tienen exactamente el mismo volumen siempre y cuando tengan la misma altura. Suena extraño, pero es completamente real.

Para entender esta extraña paradoja conocida como el problema del servilletero, primero hay que entender cómo se forma esta figura geométrica. Imaginemos dos bolas de diferente tamaño a las que practicamos un agujero con una broca circular hasta dejar un anillo parecido a un servilletero. Lo que el problema dice es que da absolutamente igual de qué tamaño sea la bola de la que partimos. Da igual si es una naranja o una sandía. El volumen de ambos objetos será el mismo si la altura de la figura lo es.

Vsauce (arriba) desgrana magistralmente los cálculos necesarios para probar que este enunciado es cierto, pero para entenderlo basta con observar lo que pasaría si atravesamos el anillo con un plano horizontal y comparamos las áreas de cada anillo. También son equivalentes. El problema es una aplicación del principio de Cavalieri, cuyo enunciado es:

Para calcular el área del anillo en ese corte basta hallar el área de la circunferencia de la bola de la que partíamos, y restarle el área de la circunferencia formada por el cilindro (la broca, si lo preferís) con la que hemos practicado el orificio.

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Desgraciadamente, para hallar el área de las circunferencias primero necesitamos calcular el radio, porque ese radio no se corresponde con el de la bola original. Para hallarlo hay que comenzar a dibujar triángulos y calcular el cateto que nos interesa a partir de la hipotenusa, que es el radio que conocemos, y la altura, que es el otro cateto. Esta figura ilustra los cálculos necesarios.

Según vamos despejando la ecuación, llega un momento que el radio desaparece. Ya no es importante. Resulta completamente contraintuitivo, pero es cierto. El volumen de ambos objetos es el mismo [Principio de Cavalieri y Napkin Ring Problem vía Vsauce]