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Descubren un azulejo imposible que pone punto y final a un problema matemático de más de 60 años

La forma geométrica de 14 lados se llama El Espectro, y puede cubrir una superficie sin repetirse

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Ejemplo de la primera monoteselación aperiódica, un azulejo imposible conocido como El Espectro.
A la izquierda, El Sombrero, y a la derecha, su versión mejorada: El Espectro.
Imagen: Smith et al. (2023)

En marzo de este mismo año, un grupo de matemáticos descubrió El Sombrero (The Hat), una forma geométrica que hasta entonces solo se había descrito de forma teórica. Pero El Sombrero tenia un problema. Ahora los mismos matemáticos han mejorado su creación con una figura llamada El Espectro.

El Sombrero era lo que se conoce como una teselación de Penrose en honor al matemático que descubrió estos patrones geométricos en los años 70. Una teselación de Penrose es un conjunto de baldosas (normalmente dos) que pueden cubrir una superficie de manera aperiódica. Imagina dos baldosas diferentes que pueden combinarse entre sí formando un patrón en el que cada baldosa desplazada nunca concuerda en ángulo con la baldosa original y lo tienes.

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Pues bien, durante años, las matemáticas predijeron la existencia de una teselación de Penrose compuesta por una única baldosa. Es lo que también se conoce como monoteselacion einstein, pero el nombre no se refiere al famoso físico que formuló la teoría de la relatividad general, sino a la expresión alemana ein Stein, que significa literalmente una piedra. En marzo, el matemático de la Universidad de Cornell David Smith y sus colegas dieron con esa geometría que teóricamente era posible, pero que aún no se había descubierto. Sus resultados se publicaron en el correspondiente estudio.

Pero El Sombrero tenía un problema. Para funcionar, requería que la baldosa original se reflejara como en un espejo para dar lugar a dos baldosas especulares simétricas entre sí. Este detalle hizo que muchos matemáticos no la consideraran una solución satisfactoria al problema de la monoteselación. “En la teselación de planos es normal que algunas baldosas se reflejen”, explica el matemático Joseph Samuel Meyers, coautor del descubrimiento. “Sin embargo, algunos no estaban satisfechos con una monoteselación que requiere reflejarse. En nuestro nuevo estudio presentamos El Espectro, el primer ejemplo de einstein vampiro, una monoteselación aperiódica que cubre un plano sin reflejos”.

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Lo de einstein vampiro es un nombre pegadizo que los investgadores han ideado en alusión a la característica de los chupasangres en la mitología popular, cuya imagen no puede reflejarse en los espejos.

El Espectro, tal y como lo describen en un nuevo estudio, es un azulejo de 14 caras y forma que recuerda vagamente a un fantasma. En un principio, los investigadores lo diseñaron con las caras rectas, pero aún necesitaba de una imagen especular para formar una teselación de Penrose. Sin embargo, cuando sustituyeron las caras rectas por otras curvas descubrieron la forma definitiva que resuelve este problema matemático y que técnicamente se denomina monoteselación aperiódica quiral estricta en alusión a la quiralidad, que es la propiedad de las moléculas que hace imposible superponerlas a su imagen especular por mucho que se giren en el espacio.

Puede parecer poca cosa, pero la nueva teselación pone punto y final a un problema matemático que venía durando más de 60 años, lo que sin duda hará las delicias de los matemáticos, y probablemente de los fabricantes de azulejos.