Bille es el primer tetraedro monoestable, un cuerpo en forma de pirámide con cuatro caras triangulares y con una posición estable de reposo. Lo que significa que Bille, no importa cómo lo arrojes o cómo caiga, siempre caerá sobre el mismo lado.
En un trabajo reciente presentado ante arXiv, los matemáticos revelaron el primer modelo físico de Bille, cerrando así la teoría de décadas propuesta por el reconocido matemático británico John Conway. Bille, hecho de liviana fibra de carbono y denso carburo de tungsteno, representa decisiones de ingeniería ridículamente sofisticadas, lo que lo convierte en un logro tecnológico además de matemático.
No es de sorprender, entonces, que esta propiedad de autocorrección apunte además a aplicaciones interesantes para la industria espacial, que tuvo dos recientes fallos de alunizaje con vehículos que se tumbaron al tocar el suelo lunar.
En su conjetura inicial Conway proponía que un tetraedro con peso distribuido de manera despareja en sus lados siempre se voltearía hacia el mismo lado. Sin embargo, el mismo Conway rechazó la idea unos años después. Algunos matemáticos, sin embargo, seguían pensando que algo de razón tendría, como el coautor del estudio Robert Dawson, que casi logra demostrar que Conway estaba en lo cierto. Fue en la década de 1980 que intentó probarlo, utilizando lámina de plomo y varillas de bambú.
“Lo que recuerdo es que casi funcionó debido al impulso angular”, le dijo a Gizmodo Dawson, hoy matemático de la Universidad Saint Mary de Canadá. “Del mismo modo en que un auto que está en movimiento y encuentra un montículo en el camino, y pasará por encima, gracias a ese impulso angular. Pero le costaría arrancar en movimiento si está delante del montículo”.
En situación ideal el tetraedro monoestable no tendría que necesitar otro empujón para caer del lado de la “base”. Durante un tiempo parecía que la teoría de Conway terminaría archivada junto a otras ideas matemáticas muy buenas pero improbables. Eso fue hasta hace unos tres años, cuando el matemático Gábor Domokos y su estudiante Gergő Almádi de la Universidad de Tecnología y Economía de Budapest se pusieron en contacto con Dawson. Domokos, experto desde hace tiempo en resolver problemas complejos de geometría, ya había descubierto el gömböc, un objeto de forma redondeada que tiene solo dos puntos de equilibrio, parecido al juguete tentempié.
Aunque es un descubrimiento impactante, el gömböc con su forma mayormente redonda y un diseño de múltiples lados, presenta condiciones relativamente fáciles para hallar el equilibrio, según le dijo Domoko a Gizmodo. Cuantos menos lados tenga una figura, y más pequeños sean los ángulos en cada lado, más difícil resulta que la figura sea monoestable, dijo.
Pensemos en los dados comunes, de seis lados. “Si es un dado bueno, habrá iguales probabilidades de que caiga sobre cada uno de sus lados”, explicó Domoko.Incluso si alguien hace trampa y modifica el dado añadiendo peso a un par de superficies, las probabilidades podrán cambiar levemente pero tendría que haber posibilidades de que el dado caiga sobre cualquiera de sus lados.
La monoestabilidad no es sencilla
En ese sentido, el tetraedro con sus esquinas en punta y sus diminutos ángulos agudos en sus cuatro lados hace que en términos de monoestabilidad estemos ante “un problema muy difícil, el de la mayor categoría”, con excepción de algún tipo de milagro de la ingeniería.
Eso sucedió en verdad. Tras derivar un modelo teórico para calcular las dimensiones de Bille, Almádi, que estudia arquitectura, encabezó la gesta de construir una estructura que de alguna manera tenía un lado hecho con “material realmente pesado, con partes livianas casi como el aire, y un esqueleto prácticamente vacío”, explicó Domokos. El equipo eligió tubos de carbono para el esqueleto y carburo denso de tungsteno para la base, porque es una aleación dos veces más pesada que el acero.
Pero incluso después de todo eso, todavía había un problema: por alguna razón, Bille caía siempre sobre dos de sus lados y no, sobre el único lado que querían.
“Entonces lo miramos con detenimiento y había una gota pequeñísima de pegamento que sobresalía en un extremo”, exclamó Domoko. A pesar de que el ingeniero principal afirmaba que no marcaba una diferencia, Domoko insistió en que había que eliminarla, pero antes calcularon su densidad y forma con toda precisión.
Y… ¡funcionó! Bille entró en la historia de las matemáticas.
Dicho esto, Domokos aclaró que los ingenieros tuvieron gran participación en hacer que fuera posible. “Fueron parte del proceso de creación, de la geometría, la ingeniería y el diseño tecnológico. Todo eso tenía que estar conjugado para que funcionara. Si una de esas cosas no está, esto no funciona”.
¡Buena suerte!
Para asegurar que Bille no fuera un único objeto que por azar cumpliera con lo buscado, el equipo de Domokos hizo un segundo modelo. No es algo que uno pueda construir en su casa. “Les deseamos buena suerte a quienes lo intenten”, bromeó Domokos. “Pero quien lo haga ahora tiene una gran ventaja que nosotros no tuvimos porque no sabíamos si funcionaría”.
Domokos tiene un entusiasmo particular por ver qué pasará con Bille en el futuro. Una de las razones por las que Domokos no quería detenerse tan solo en un modelo de Bille, fue a causa del gömböc. Porque como sucede con muchos otros avances matemáticos que estéticamente resultan agradables, es un objeto que atrajo a las comunidades artísticas y a científicos que trazaron paralelos entre el caparazón de la tortuga y el gömböc, algo que Domokos ya suponía que iba a suceder.
Lo que no esperaba fue que Novo Nordisk en colaboración con el MIT y Harvard, se interesara en los principiois de diseño del gömböc para una cápsula de insulina que se endereza una vez que llega al estómago, eliminando la necesidad de las inyecciones.
Avances relacionados
“Sonaba extraño, casi como ciencia ficción”, dijo Domokos. “El gömböc me enseñó que los objetos físicos son cruciales, y que allí afuera hay mucha gente brillante que no tiene mente matemática pero que pude ver algo y en su mente refleja muchas otras cosas”.
Con todo, tal vez pase un tiempo antes de que Bille acabe estando en los planos de los alunizadores, algo que Domokos sabe que será todo un desafío. “Cuando desarrollas algo tienes que esperar, y la innovación tecnológica se pondrá a su altura. Puede llevar 100 años, o tal vez 10. La matemática siempre está un paso adelante”.
