Las matemáticas que aprendemos en la escuela son una minúscula porción de un conjunto enorme y muy diverso. Como ya hizo con la física, el físico y divulgador científico Dominic Walliman publica ahora su particular Mapa de las Matemáticas, un resumen de todas las áreas de esta ciencia formal.

Los humanos tenemos una estrecha relación con las matemáticas desde que el hombre prehistórico aprendió a contar con muescas en huesos. Más tarde los egipcios resolvieron la primera ecuación, los griegos profundizaron en la geometría, los chinos inventaron los números negativos, los indios usaron por primera vez el cero y los persas describieron el álgebra.

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Mil y pico de años después, las matemáticas se siguen dividiendo fundamentalmente en dos grupos: matemáticas puras, el estudio de las matemáticas en sí mismas; y matemáticas aplicadas, cuando se desarrollan para ayudar a resolver un problema del mundo real. Pero lo habitual es que el desarrollo de unas lleve al crecimiento de las otras.

Las matemáticas puras comienzan por el estudio de los números naturales y lo que podemos hacer con ellos: las operaciones aritméticas. Continúa con los enteros, que contienen a los números negativos; los racionales, que contienen a las fracciones; los reales, de donde salen pi, el número e o el número áureo; y los complejos, que se representan como la suma de un número real y un número imaginario. Pero hay otros grupos interesantes, como los números cardinales, los cuaterniones y los octoniones.

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Con el estudio de las estructuras, los números se convierten en variables de las ecuaciones o en números multidimensionales: vectores y matrices. El álgebra contiene las reglas que manipulan esas ecuaciones y matrices. La teoría de números es la rama que estudia las propiedades de los números especiales, como los primos. La combinatoria estudia estructuras o grafos, como los árboles. La teoría de grupos analiza objetos que están relacionados en un mismo grupo, como un cubo de Rubik. La teoría del orden investiga cómo ordenar los objetos siguiendo determinadas reglas matemáticas.

La parte de las matemáticas que estudia las formas y cómo se comportan en el espacio se conoce como geometría, y está estrechamente relacionada con la trigonometría. Sus conceptos (incluido el teorema de Pitágoras) se dan en la escuela, pero contiene otros terrenos más complicados como los fractales, en los que puedes “hacer zoom” indefinidamente, o la geometría diferencial, que estudia las formas en superficies curvas. Luego está la topología, que estudia las propiedades de los cuerpos geométricos que tienen la capacidad de permanecer inalteradas; como la banda de Möbius, que solo tiene una superficie y un borde, le hagas lo que le hagas.

Después tenemos la matemática del cambio, cuya mayor herramienta es el cálculo (uno de los hijos de Isaac Newton). El cálculo divide en diferencial e integral, derivadas e integrales, y estudia el comportamiento o el área abarcada por las funciones. El cálculo se extiende con el análisis vectorial, muy útil en ingeniería y física. Y también incluye otras áreas más escabrosas, como los sistemas dinámicos y la famosa teoría del caos (que estudia sistemas dinámicos muy sensibles a sus condiciones iniciales).

En las matemáticas aplicadas, las herramientas anteriores se utilizan para desarrollar otras ciencias, como la física o la química. O para resolver determinados problemas, como en ingeniería. Los sistemas eléctricos se basan en la teoría del control, parte de los sistemas dinámicos. Los sistemas financieros predicen la economía con la teoría de juegos, parte de la teoría de grupos. Los psicólogos y los médicos usan la estadística y la probabilidad para procesar grandes cantidades de datos. La criptografía se basa en la teoría de números para asegurar nuestra privacidad en Internet.

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Llegados a este punto, la pregunta es: ¿existe un conjunto completo de axiomas que relacionen todas las reglas de las matemáticas entre sí y prueben que son consistentes consigo mismas? El genio de la lógica Kurt Gödel llegó, a través de sus teoremas de incompletitud, a una respuesta negativa: las matemáticas no tienen un conjunto completo y coherente de axiomas. Lo extraño entonces es que sean capaces de explicar por sí solas muchas de las cosas que ocurren en el universo. [Dominic Walliman]