Un gr√°fico de la funci√≥n zeta de Riemann en el plano complejo (el eje x representa los n√ļmeros reales, el eje y representa los n√ļmeros imaginarios)
Graphic: (Wikimedia Commons)

Hay seis grandes problemas matemáticos que, si alguien los resuelve, se llevará una recompensa de un millón de dólares. El lunes, un matemático de gran prestigio afirmó en una conferencia haber resuelto quizás el más famoso de ellos: la hipótesis de Riemann, pero hay motivos para ser escépticos.

Mucha gente afirma haber resuelto los mayores problemas en f√≠sica y matem√°ticas (y a menudo env√≠an sus ideas por correo electr√≥nico a f√≠sicos en activo y periodistas cient√≠ficos), pero pocas de esas soluciones aguantan un escrutinio minucioso. El anuncio de ayer parec√≠a diferente: el matem√°tico brit√°nico-liban√©s Michael Atiyah afirm√≥ haber probado la hip√≥tesis de Riemann, que tiene ya 160 a√Īos de antig√ľedad, mientras trataba de comprender otro problema de f√≠sica de part√≠culas. Pero la prueba definitiva de cinco p√°ginas, unida a otro documento que a√ļn no ha visto la luz, dej√≥ a m√°s de uno rasc√°ndose la cabeza.

Advertisement

La hip√≥tesis de Riemann trata sobre un objeto matem√°tico conocido como la funci√≥n zeta de Riemann. Primero fue estudiado por el famoso matem√°tico Leonhard Euler solo en n√ļmeros reales; luego Bernhard Riemann lo extendi√≥ a n√ļmeros complejos y estudi√≥ las consecuencias. Si recuerdas algo de √°lgebra del colegio, hay toda una rama de las matem√°ticas en torno a los n√ļmeros complejos, incluidos los n√ļmeros reales y los imaginarios, o aquellos multiplicados por i, la ra√≠z cuadrada de -1. La funci√≥n zeta toma uno de estos n√ļmeros complejos y escupe otro n√ļmero. Riemann hipotetiz√≥, pero no prob√≥, que esta funci√≥n devolver√≠a un valor de ‚Äúcero‚ÄĚ solo si conecta un n√ļmero negativo par (-2, -4, etc.) o ciertos n√ļmeros complejos cuya parte real era ¬Ĺ, como ¬Ĺ + 14.134725i.

Image: Parte real (rojo) y parte imaginaria (azul) de la l√≠nea cr√≠tica Re(s) = 1/2 de la funci√≥n zeta de Riemann. Pueden verse los primeros ceros no triviales en Im(s) = ¬Ī14,135, ¬Ī21,022 y ¬Ī25,011. (Wikimedia Commons)

Sea o no verdadera la hip√≥tesis de Riemann, tiene una importancia fundamental para las matem√°ticas, por ejemplo, la hip√≥tesis podr√≠a explicar c√≥mo los n√ļmeros primos (aquellos que son divisibles solo por uno y por ellos mismos, como 3, 5, 7 y 277,232,917‚ąí1) se distribuyen. Se considera uno de los problemas matem√°ticos sin resolver m√°s importantes. Es uno de los seis ‚ÄúProblemas del mill√≥n‚ÄĚ no resueltos, y la persona que demuestre o desmienta la hip√≥tesis de Riemann obtendr√° un premio de un mill√≥n de d√≥lares donado por el Clay Mathematics Institute.

Advertisement

Michael Atiyah anunció su demostración la semana pasada y la entregó ayer en una conferencia en el Heidelberg Laureate Forum en Alemania. Atiyah es quizás uno de los matemáticos vivos más notables. Ganó los dos premios de matemáticas más prestigiosos, la Medalla Fields y el Premio Abel, por su trabajo en geometría diferencial, y por eso los matemáticos han prestado especial atención a su anuncio.

Pero el resultado final dejó algo que desear. Presentó un documento de cinco páginas que contenía una demostración de siete líneas en la que explicaba que la mayor parte del trabajo se basaba en otro objeto matemático que estaba estudiando llamado función de Todd, desarrollado en otro documento inédito. Usando esta función de Todd, esperaba explicar algo que en física de partículas se conoce como la constante de estructura fina, que cuantifica la fuerza de la interacción electromagnética entre las partículas.

‚ÄúDesafortunadamente, parece que el art√≠culo de Atiyah sobre la hip√≥tesis de Riemann tiene algunas inconsistencias internas, tal como est√° redactado. La prueba tal como est√° es incorrecta o, en el mejor de los casos, est√° lejos de estar completa‚ÄĚ, dijo Daniel Litt, matem√°tico del Instituto de Estudios Avanzados a Gizmodo. ‚Äú¬°Eso no significa que no tenga ning√ļn valor, claro! Dados los incre√≠bles resultados de Atiyah, es razonable pensar que se pueda extraer algo valioso de su trabajo‚ÄĚ.

Advertisement

Algunos f√≠sicos de part√≠culas estaban perplejos por el intento de Atiyah de derivar la constante de estructura fina de la manera en que lo hizo. Es cierto que, con energ√≠a cero, hay un n√ļmero constante (un n√ļmero como pi) que se usa para explicar la fuerza de la fuerza electromagn√©tica. Esa constante es igual a aproximadamente 1/137. Pero este n√ļmero cambia a energ√≠as m√°s altas. Y a estas energ√≠as superiores, la fuerza electromagn√©tica se convierte en una igual a otra fuerza fundamental, llamada fuerza nuclear d√©bil. Cuando se unen como fuerza electrodebil, dos comparten una constante de estructura fina diferente. Quiz√°s la fuerza electrod√©bil se une con otra de las fuerzas fundamentales, la fuerza nuclear fuerte, a una energ√≠a a√ļn m√°s alta.

‚ÄúLa prueba de Atiyah parece ser completamente opuesta a la forma en que la mayor√≠a de los f√≠sicos de part√≠culas piensan sobre el problema‚ÄĚ, dijo el f√≠sico Matthew Buckley de la Universidad de Rutgers a Gizmodo. ‚ÄúEso no significa que est√© mal, solo es sospechoso. Ignora los problemas de c√≥mo la constante de estructura fina cambian a medida que la energ√≠a cambia‚ÄĚ.

Advertisement

Los matemáticos tienen importantes contribuciones que hacer en el campo de la física de partículas, por supuesto, y buscar el problema fijándose en las energías más bajas en lugar de las más altas puede traer resultados interesantes, dijo Buckley. Pero en este caso, dijo que no sentía que Atiyah hubiese dado con la respuesta correcta.

Esta no es la primera vez que Atiyah ha presentado (recientemente) una prueba que luego otros matemáticos han demostrado incorrecta. Ya ocurrió con otra prueba incompleta sobre geometría en octubre de 2016.

Hacer afirmaciones tan importantes requiere pruebas serias. Atiyah ha enviado su trabajo sobre la función de Todd a una prestigiosa revista, The Proceedings of the Royal Society A, como dice Science, donde se enfrentará a la revisión de otros matemáticos. Pero parece seguro decir que al menos hasta que la revisión de este artículo termine, este problema del milenio permanecerá sin resolver.