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Los matemáticos dudan de la reciente solución propuesta a uno de los problemas del millón de dólares

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Un gráfico de la función zeta de Riemann en el plano complejo (el eje x representa los números reales, el eje y representa los números imaginarios)
Gráfica: (Wikimedia Commons)

Hay seis grandes problemas matemáticos que, si alguien los resuelve, se llevará una recompensa de un millón de dólares. El lunes, un matemático de gran prestigio afirmó en una conferencia haber resuelto quizás el más famoso de ellos: la hipótesis de Riemann, pero hay motivos para ser escépticos.

Mucha gente afirma haber resuelto los mayores problemas en física y matemáticas (y a menudo envían sus ideas por correo electrónico a físicos en activo y periodistas científicos), pero pocas de esas soluciones aguantan un escrutinio minucioso. El anuncio de ayer parecía diferente: el matemático británico-libanés Michael Atiyah afirmó haber probado la hipótesis de Riemann, que tiene ya 160 años de antigüedad, mientras trataba de comprender otro problema de física de partículas. Pero la prueba definitiva de cinco páginas, unida a otro documento que aún no ha visto la luz, dejó a más de uno rascándose la cabeza.

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La hipótesis de Riemann trata sobre un objeto matemático conocido como la función zeta de Riemann. Primero fue estudiado por el famoso matemático Leonhard Euler solo en números reales; luego Bernhard Riemann lo extendió a números complejos y estudió las consecuencias. Si recuerdas algo de álgebra del colegio, hay toda una rama de las matemáticas en torno a los números complejos, incluidos los números reales y los imaginarios, o aquellos multiplicados por i, la raíz cuadrada de -1. La función zeta toma uno de estos números complejos y escupe otro número. Riemann hipotetizó, pero no probó, que esta función devolvería un valor de “cero” solo si conecta un número negativo par (-2, -4, etc.) o ciertos números complejos cuya parte real era ½, como ½ + 14.134725i.

Image: Parte real (rojo) y parte imaginaria (azul) de la línea crítica Re(s) = 1/2 de la función zeta de Riemann. Pueden verse los primeros ceros no triviales en Im(s) = ±14,135, ±21,022 y ±25,011. (Wikimedia Commons)

Sea o no verdadera la hipótesis de Riemann, tiene una importancia fundamental para las matemáticas, por ejemplo, la hipótesis podría explicar cómo los números primos (aquellos que son divisibles solo por uno y por ellos mismos, como 3, 5, 7 y 277,232,917−1) se distribuyen. Se considera uno de los problemas matemáticos sin resolver más importantes. Es uno de los seis “Problemas del millón” no resueltos, y la persona que demuestre o desmienta la hipótesis de Riemann obtendrá un premio de un millón de dólares donado por el Clay Mathematics Institute.

Michael Atiyah anunció su demostración la semana pasada y la entregó ayer en una conferencia en el Heidelberg Laureate Forum en Alemania. Atiyah es quizás uno de los matemáticos vivos más notables. Ganó los dos premios de matemáticas más prestigiosos, la Medalla Fields y el Premio Abel, por su trabajo en geometría diferencial, y por eso los matemáticos han prestado especial atención a su anuncio.

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Pero el resultado final dejó algo que desear. Presentó un documento de cinco páginas que contenía una demostración de siete líneas en la que explicaba que la mayor parte del trabajo se basaba en otro objeto matemático que estaba estudiando llamado función de Todd, desarrollado en otro documento inédito. Usando esta función de Todd, esperaba explicar algo que en física de partículas se conoce como la constante de estructura fina, que cuantifica la fuerza de la interacción electromagnética entre las partículas.

“Desafortunadamente, parece que el artículo de Atiyah sobre la hipótesis de Riemann tiene algunas inconsistencias internas, tal como está redactado. La prueba tal como está es incorrecta o, en el mejor de los casos, está lejos de estar completa”, dijo Daniel Litt, matemático del Instituto de Estudios Avanzados a Gizmodo. “¡Eso no significa que no tenga ningún valor, claro! Dados los increíbles resultados de Atiyah, es razonable pensar que se pueda extraer algo valioso de su trabajo”.

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Algunos físicos de partículas estaban perplejos por el intento de Atiyah de derivar la constante de estructura fina de la manera en que lo hizo. Es cierto que, con energía cero, hay un número constante (un número como pi) que se usa para explicar la fuerza de la fuerza electromagnética. Esa constante es igual a aproximadamente 1/137. Pero este número cambia a energías más altas. Y a estas energías superiores, la fuerza electromagnética se convierte en una igual a otra fuerza fundamental, llamada fuerza nuclear débil. Cuando se unen como fuerza electrodebil, dos comparten una constante de estructura fina diferente. Quizás la fuerza electrodébil se une con otra de las fuerzas fundamentales, la fuerza nuclear fuerte, a una energía aún más alta.

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“La prueba de Atiyah parece ser completamente opuesta a la forma en que la mayoría de los físicos de partículas piensan sobre el problema”, dijo el físico Matthew Buckley de la Universidad de Rutgers a Gizmodo. “Eso no significa que esté mal, solo es sospechoso. Ignora los problemas de cómo la constante de estructura fina cambian a medida que la energía cambia”.

Los matemáticos tienen importantes contribuciones que hacer en el campo de la física de partículas, por supuesto, y buscar el problema fijándose en las energías más bajas en lugar de las más altas puede traer resultados interesantes, dijo Buckley. Pero en este caso, dijo que no sentía que Atiyah hubiese dado con la respuesta correcta.

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Esta no es la primera vez que Atiyah ha presentado (recientemente) una prueba que luego otros matemáticos han demostrado incorrecta. Ya ocurrió con otra prueba incompleta sobre geometría en octubre de 2016.

Hacer afirmaciones tan importantes requiere pruebas serias. Atiyah ha enviado su trabajo sobre la función de Todd a una prestigiosa revista, The Proceedings of the Royal Society A, como dice Science, donde se enfrentará a la revisión de otros matemáticos. Pero parece seguro decir que al menos hasta que la revisión de este artículo termine, este problema del milenio permanecerá sin resolver.

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