John Nash y su esposa fallecieron este pasado fin de semana en un trágico accidente de tráfico. Se nos va uno de los matemáticos más famosos de la historia. Aunque era matemático sus aportaciones se usan en campos como la economía, la biología o los estudios evolutivos. Padeció de esquizofrenia toda su vida, algo que de hecho lo ayudó con algunos de sus estudios.

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La principal aportación de Nash fue a la Teoría de Juegos, con el llamado equilibrio de Nash. La teoría de los juegos es la que estudia el comportamiento de los individuos en entornos estratégicos. Dentro de este contexto, estrategia se define como la manera en la que cada persona antes de emprender una acción determinada analiza la manera en la que otras (la competencia, generalmente), responderá a sus acciones.

El equilibrio de Nash es lo que define entre la confrontac√≠on que hay entre la cooperaci√≥n y el deseo de obtenci√≥n del m√°ximo beneficio. Dicho de otro modo ‚Äúquiero ayudarte para mi propio beneficio pero sin llegar a un punto en el que t√ļ, mi competencia, obtenga tampoco un beneficio muy alto derivado de mi ayuda‚ÄĚ. As√≠ para ambas partes. El equilibrio de Nash funciona bien en duopolio y oligopolios (10 o 12 integrantes), pero no para el monopolio (que ser√≠a un solo integrante) ni para el mercado competitivo, donde hay tantas empresas que las interacciones entre todas ellas se ‚Äúdisuelven‚ÄĚ.

Pero en el mercado oligopólico (pocas empresas), las ecuaciones de Nash permiten predecir comportamientos y sobre todo beneficio, que depende no sólo de las cantidades producidas sino de las cantidades producidas por el resto de integrantes y la interacción entre los mismos.

El estudio de esa cooperaci√≥n, que Nash define como una ‚Äúconfrontaci√≥n‚ÄĚ, y las f√≥rmulas matem√°ticas que describen el comportamiento son lo que le valieron en 1994 el premio Nobel de Econom√≠a, junto a Stelten y Harsanyi. Buena parte de las ciencias sociales estudian los comportamientos de grupos de varios individuos en base a los estudios de Nash. Pongamos un ejemplo para entenderlo.

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Bonnie, Clyde y el equilibrio de Nash

Una buena manera de entender el comportamiento del equilibrio de Nash y la teoría de juegos es con el clásico Dilema del Prisionero, que de hecho aparece ocasionalmente en forma de juego de lógica e ingenio.

Bonnie y Clyde, los dos famosos ladrones de bancos americanos, fueron capturados por la policía en relación a un delito menor, posesión ilegal de armas. Pero aunque sabe que son culpables, la policía no tenía pruebas para condenarlos por los delitos de atracos de bancos así que en su lugar decide interrogarlos por separado y hacerles una propuesta.

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A cada uno les dice:

Por este delito te vamos a encerrar un a√Īo. Tenemos pruebas. Pero si confiesas el asalto al banco, tendr√°s total inmunidad y quedar√°s libre. Tu socio (Bonnie o Clyde) ser√° condenado a 20 a√Īos de c√°rcel. Pero s√≠ ambos confes√°is, cada uno recibir√©is una condena de 8 a√Īos para ahorra costes judiciales.

Las opciones:

  • Si Clyde confiesa pero Bonnie no, √©l saldr√° libre y ella tendr√° una condena de 20 a√Īos. Y viceversa: si Clyde no pero Bonnie s√≠, ella sale libre y Clyde queda preso 20 a√Īos.
  • Si ambos confiesan, 8 a√Īos de c√°rcel para los dos.
  • Si no confiesan, 1 a√Īo de c√°rcel para los dos.

Ambos razonan de manera similar: yo no s√© qu√© har√° el otro, pero si calla mi mejor estrategia es confesar y ser√© libre autom√°ticamente en lugar de pasar un a√Īo en la c√°rcel. Y si tambi√©n decide confesar, ambos pasaremos 8 a√Īos en lugar de 20.

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Finalmente, ambos confiesan y pasan 8 a√Īos en la c√°rcel. No es la peor soluci√≥n de todas, pero es mucho peor que la soluci√≥n resultante a permanecer totalmente callado, en cuyo caso habr√≠an pasado s√≥lo 1 a√Īo en la c√°rcel.

Este equilibrio se puede aplicar también a estrategias como la de piedra, papel o tijera. Muestra la dificultad de mantener la cooperación y la importancia de un modelo matemático que ayude a controlar riesgos y maximizar beneficios.

La teoría de juegos se ha aplicado con éxito en ramas de la ciencia como la Política, la Biología, la Informática, la Filosofía y, por supuesto, la Economía.

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