Imagina que tienes dos anillos con el borde curvo de diferente di√°metro pero de la misma altura. ¬ŅY si te dijera que ambos objetos tienen exactamente el mismo volumen siempre y cuando tengan la misma altura. Suena extra√Īo, pero es completamente real.

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Para entender esta extra√Īa paradoja conocida como el problema del servilletero, primero hay que entender c√≥mo se forma esta figura geom√©trica. Imaginemos dos bolas de diferente tama√Īo a las que practicamos un agujero con una broca circular hasta dejar un anillo parecido a un servilletero. Lo que el problema dice es que da absolutamente igual de qu√© tama√Īo sea la bola de la que partimos. Da igual si es una naranja o una sand√≠a. El volumen de ambos objetos ser√° el mismo si la altura de la figura lo es.

Vsauce (arriba) desgrana magistralmente los cálculos necesarios para probar que este enunciado es cierto, pero para entenderlo basta con observar lo que pasaría si atravesamos el anillo con un plano horizontal y comparamos las áreas de cada anillo. También son equivalentes. El problema es una aplicación del principio de Cavalieri, cuyo enunciado es:

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Para calcular el área del anillo en ese corte basta hallar el área de la circunferencia de la bola de la que partíamos, y restarle el área de la circunferencia formada por el cilindro (la broca, si lo preferís) con la que hemos practicado el orificio.

Desgraciadamente, para hallar el √°rea de las circunferencias primero necesitamos calcular el radio, porque ese radio no se corresponde con el de la bola original. Para hallarlo hay que comenzar a dibujar tri√°ngulos y calcular el cateto que nos interesa a partir de la hipotenusa, que es el radio que conocemos, y la altura, que es el otro cateto. Esta figura ilustra los c√°lculos necesarios.

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Seg√ļn vamos despejando la ecuaci√≥n, llega un momento que el radio desaparece. Ya no es importante. Resulta completamente contraintuitivo, pero es cierto. El volumen de ambos objetos es el mismo [Principio de Cavalieri y Napkin Ring Problem v√≠a Vsauce]