Image: Cola en la Puerta del Sol (Madrid) para adquirir billetes de la lotería de Navidad (Wikimedia Commons)

Todos los años por estas fechas en España empieza la fiebre de la Loteria de Navidad. La gente no quiere quedarse sin ese número que, quizás, le ayude a “tapar un agujero”. Son fechas donde no se mira si esa posibilidad es real o no, al fin y al cabo, se trata de suerte, ¿no? ¿Qué dicen de ello las matemáticas?

En Gizmodo tenemos varios artículos donde contamos algunas de las historias más sorprendentes en torno a las loterías y juegos. Millonarios a los que observar con cierta envidia, aunque finalmente sus “fórmulas” ya no sirven, en la mayoría de ellas porque las nuevas leyes ya no permiten ciertos trucos.

En el caso de Estados Unidos, por ejemplo, donde este año tuvo lugar el bote más grande en la historia de cualquier lotería (para una sola persona) en su concurso Mega Millions, contaban los matemáticos que para ese caso en particular, la gente debería comprar al menos un boleto.

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¿La razón? Si considerábamos solo el premio mayor, multiplicamos el premio increíblemente grande (1.6 mil millones) por las increíblemente pequeñas probabilidades de ganar (1 en 302 millones). De ahí obtenemos un valor esperado de 5.29 dólares, definitivamente mucho más que el coste inicial de 2 dólares de un boleto.

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Obviamente, los detractores del juego te señalarán las probabilidades (muy reales) en tu contra para que no compres un boleto. Y lo cierto es que también son una buena razón para no comprar más de uno o dos, dado que era casi seguro que no ibas a ganar, aunque el “casi” es lo que lo hace tan apetecible. 

La Lotería de Navidad

Image: Proclamación del premio grande de la lotería de Navidad el 23 de diciembre de 1896 (Wikimedia Commons)

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Pero eso era Estados Unidos, y ahora le toca el turno a España y su Lotería de Navidad con el famoso premio Gordo. En cualquier caso, ambos no dejan de ser juegos que se reducen a dos cosas: matemáticas simples y probabilidades muy muy largas.

En España todos los años se repite la misma historia: en La Manolita, vendedor mítico de la lotería de Madrid, se forman colas eternas de gente gracias a la reputación del sitio vendiendo “más boletos ganadores que en cualquier otro”.

Si te suena la frase es porque lo que hay detrás es muy buen marketing. Si Manolita ha “tocado” más es simplemente porque los premios se reparten más en aquellas ciudades que cuentan con más personas. A más personas, más compras de boletos y más posibilidades de que toque allí. Porque una máxima que te dirá cualquier matemático es que todos los números tienen la misma probabilidad de ganar.

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Lo cierto es que en términos de reconocimiento de marca, pocas empresas pueden competir con la lotería navideña española, la cual se celebra desde principios del siglo XIX. Además, y a diferencia de otras loterías del estado (es la que más paga en el país), El Gordo se elige con una fórmula matemática diferente.

Mientras que la mayoría se eligen seleccionando un número entre cero y nueve para cada uno de los cinco dígitos en el boleto ganador, cada uno a la vez, en la Lotería de Navidad el número ganador de cinco dígitos se toma de 100.000 bolas que giran dentro de un bombo.

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Dicho de otra forma, en ese tambor está lo que muchos llaman la “suerte”, en algún lugar entre el 00000 y el 99999. Además, también hay una cesta más pequeña que contiene 1.807 bolas de madera diminutas. Estas muestran el dinero del premio asignado aleatoriamente a cada número que se extrae del bombo gigante. Un niño saca y canta un número, y otro saca y canta el premio correspondiente.

Y entonces sí, la gran pregunta, ¿qué posibilidades hay realmente de que me toque el premio?

Las matemáticas en la lotería

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Para los profanos quizás es más fácil de entender si calculamos la posibilidad de ganar un premio específico, así que vayamos a por El Gordo, el más grande de todos.

Contaba el matemático francés del siglo XVIII, Pierre-Simon Laplace, a quien se le atribuye el desarrollo de algunas de las teorías de probabilidad más tempranas, que las posibilidades de que algo suceda se calculan dividiendo el número de casos favorables por el número de resultados posibles.

Su principio se convirtió en mantra. En el caso de El Gordo el número de casos favorables es obviamente uno, y los resultados posibles ascienden a 100.000, todos los números en el bombo que entran en juego.

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Image: Flickr

Por tanto, la probabilidad de que alguien gane El Gordo sobre la base de comprar un boleto es de 1/100000 = 0.00001, mucho más que otros sorteos de los que se celebran al año, pero aún así una posibilidad bastante pequeña. Y sí, las posibilidades de ganar El Gordo son las mismas que ganar el segundo premio, asumiendo que los dos resultados son (o deberían ser) excluyentes.

Es decir, que si ganas El Gordo, tampoco ganarás el segundo premio. Lo mismo se aplica al tercer premio, cuarto y quinto, junto con el resto de los premios menores, uno para cada una de las 1.807 bolas que se extraen de la cesta pequeña.

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Por cierto, y por lo que más quieran, olvídense a la hora de comprar de las supersticiones y demás intangibles. No hay un número con suerte, “bonitos” o “repetidos”. Si, por ejemplo, el número 4 se ha repetido en los últimos años en la posición que sea, no estás más cerca del boleto ganador comprando un boleto con dicho número, ni tampoco lo contrario, evitándolo porque ya ha aparecido varias veces. 

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De entrar en esa dinámica estaríamos entrando en lo que se conoce como la falacia del apostador, aquella donde se cree erróneamente que los sucesos pasados afectan a los futuros en lo relativo a actividades aleatorias.

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En el caso que nos ocupa con la lotería, a establecer que si un número se repite con más frecuencia de lo normal durante un período dado, ocurrirá con menos frecuencia en el futuro; o si no se ha repetido durante un tiempo, sucederá con más frecuencia en el futuro (¿quizás porque la naturaleza quiera equilibrar las cosas?). Error, ya que volvemos al mundo de los intangibles.

Hablando en términos generales, de los 100.000 números que entran en juego, solo resultarán premiados algo más de 14.000. Con estas cifras se queda un porcentaje de un 14% de ser ganadores de cualquier premio.

No obstante, y teniendo en cuenta que El Gordo se premia con cuatro millones de euros a la serie, lo normal es que si te toca sea un décimo, lo que la mayoría de la gente hace.

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Por todo ello, todos los años hay un único y claro ganador: la Lotería de Navidad. Hace mucho tiempo, el presidente estadounidense Thomas Jefferson lo dijo alto y claro: “el desconocimiento en las matemáticas convierte a la lotería en un impuesto que recae solo en aquellos que quieren pagarlos de buena gana”.

Y encima existe la posibilidad de que la propia Lotería sea el único ganador de El Gordo hasta el año viene... porque el boleto ganador no se ha vendido.